Цагельник Е.И. ОБ ИЗУЧЕНИИ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Возникновение понятия натурального числа было важнейшим моментом в развитии математики. Теоретическая наука, которая начала изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они появились, получила название арифметика. Во второй половине ХIХ века натуральные числа стали фундаментом всей математической науки, в связи с чем возникла необходимость систематизации и логического обоснования того, что с ними связано. Это привело к разработке двух подходов: аксиоматического и теоретико-множественного. Оба рассматриваются в вузовском курсе математики. В связи с высокой степенью абстрактности материала реализовать их в полной мере в школьном курсе математики не представляется возможным, однако их знание помогает учителю организовать учебный процесс таким образом, чтобы усвоение материала учащимися было наиболее полным.

На I ступени общего среднего образования действие умножения определяется через сложение, а деление – через умножение. Поскольку объяснение строится с опорой на наглядность, то при изучении умножения можно использовать таблицу, иллюстрирующую декартово произведение двух множеств [1, с. 98].

Изучение умножения на I ступени общего среднего образования, предполагает знакомство со следующими его свойствами:

1. Переместительное свойство умножения.
2. Сочетательное свойство умножения.
3. Распределительное свойство умножения относительно сложения.
4. Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Кроме того, рассматриваются частные случаи, связанные с умножением на нуль и на единицу.

Ознакомление с переместительным свойством умножения и особыми случаями умножения и деления служат для того, чтобы подготовить младших школьников к изучению таблицы умножения, а также опирающихся на нее соответствующих случаев деления [1, с. 100]. Суть переместительного свойства умножения заключается в том, что значение произведения при перестановке множителей не меняется. Для доказательства верности данного свойства можно использовать указанную выше демонстрационную таблицу. Иллюстрируя на ней произведения 3 ∙ 4 и 4 ∙ 3, легко убедить учащихся, что эти произведения равны, что наглядно иллюстрирует равенство площадей соответствующих прямоугольников (рис. 1).

	1	2	3	4	5	6	7
1
2
3
4
5

Рисунок 1. Иллюстрационная таблица.

При изучении данного свойства умножения используется индуктивный метод обучения. Это вызвано тем, что сколько бы ни приводилось примеров равенств, отражающих переместительность умножения, невозможно исчерпать все случаи, так как пар натуральных чисел бесконечно много. В буквенном виде переместительное свойство записывается следующим образом: a ∙ b =b ∙ a. В данном равенстве переменные a и b принимают любые натуральные значения, а также значение 0 [2].

Сочетательное свойство умножения дается в следующей формулировке: «Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель. Порядок выполнения действий при нахождении произведения не влияетна конечный результат, например, 2 ∙ (5 ∙ 3) = (2 ∙ 5) ∙ 3 = 30. В буквенном виде: a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c. Так же, как и в формуле переместительного свойства умножения, переменные a и b принимают любые натуральные значения и значение 0. Таким образом, результат умножения трёх чисел не зависит от постановки скобок, поэтому свойство можно проиллюстрировать так: 2 ∙ (5 ∙ 3) = (2 ∙ 5) ∙ 3 = 2 ∙ 5 ∙ 3 = 30.

При объединении переместительного и сочетательного свойств умножения формулируется правило преобразования произведения: «При умножении нескольких чисел, их можно как угодно переставлять и объединять в группы» [2].

Умножение единицы на единицу, десяти на десять, нуля на нуль, а также соответствующие случаи деления рассматриваются особо.

Деление нуля и невозможность деления на нуль обосновываются с помощью определения деления и умножения нуля на число. В начальном курсе математики подход к разъяснению особых случаев умножения и деления со строгой опорой на теорию вузовского курса математики невозможен. Попытка обосновать, что a ∙ 1 = а и a ∙ 0 = 0, опираясь на определение умножения через сумму, также невозможна: непонятно, что есть «сумма», у которой только одно слагаемое, или «сумма» без слагаемых. Поэтому эти случаи умножения, а также правило «на нуль делить нельзя» учащиеся должны просто запомнить [1, с. 101]. При этом используется формулировка: «Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю». Например, 5 ∙ 0 = 0 ∙ 5 = 0. Свойство умножения единицы и на единицу заключается в том, что произведение натуральных чисел, одно из которых равно единице, равно другому числу. Например, 6 ∙ 1 = 1 ∙ 6 = 6 [2].

При изучении свойства умножения 10 на число используется понятие «десяток», с которым младшие школьники знакомятся во время изучения нумерации чисел, операций сложения и вычитания в пределах 100. Так, к примеру, 10 ∙ 2 – это 1 дес. ∙ 2, или 2 дес., т.е. 20; аналогично 10 ∙ 3 – это 30 и т.д. Наблюдая за изменением компонентов и произведений, обучающиеся самостоятельно могут прийти к правилу: «Для того чтобы умножить число на 10, надо приписать к нему справа нуль». Аналогичным образом вводится прием деления круглых десятков на однозначное число, например, 80 : 4 = 20 [1, с. 102].

Распределительное свойство умножения относительно сложения имеет вид: (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c. Оно запоминается в формулировке «чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты» и распространяется на любое количество слагаемых: (a + b + с + d) ∙ k = a ∙ k + b ∙ k + c ∙ k + d ∙ k. Распределительное свойство умножения отрабатывается на числовых выражениях, поэтому упражнения подбираются так, чтобы младшие школьники могли выбрать удобный способ вычислений.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания рассматривается в виде правила: «Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе». Его символическая запись:

(a – b) ∙ c = a ∙ c – b ∙ c. Например, (10 – 5) ∙ 3 = 10 ∙ 3 – 5 ∙ 3 [2].

При изучении арифметического действия «деление», среди иных, рассматриваются следующие свойства:

1. Ни одно число нельзя делить на нуль.
2. При делении нуля на число получается нуль: 0 : a = 0.
3. При делении любого числа на 1 получается это же число: b : 1 = b.

Отдельно следует выделить правило: «Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится». Символическая запись: a : b = (a ∙ k) : (b ∙ k), где k – любое натуральное число.

С целью выявления особенностей методики, позволяющих учащимся лучше усвоить знания арифметических действий умножения и деления, нами в 2014-2015 учебном году на базе третьих классов гимназии № 9 им. Ф. П. Кириченко г. Гродно было проведено исследование. Мы выбрали два класса – 3 «А» (экспериментальный) и 3 «Д» (контрольный). Стоит отметить, что в данных классах преподают разные учителя.

На констатирующем этапе необходимо было выявить знания учащихся об арифметических действиях умножения и деления. Для этого мы разработали математический тест, состоящий из десяти заданий.

Анализ полученных результатов показал, что максимальное количество ошибок было допущено в заданиях на решение уравнений и неравенств, содержащих операции умножения и деления. Трудности у учеников возникли и при нахождении значений числовых выражений, что указывало на недостаточный уровень знаний табличных случаев умножения. Стоит отметить, что с решением текстовых задач, содержащих операции умножения и деления, младшие школьники двух классов справились, не было допущено ни одной ошибки. Вместе с тем, результаты математического теста показали, что учащиеся контрольного класса допустили меньше ошибок, чем экспериментального.

Планируя работу на формирующем этапе эксперимента, мы опирались на данные психологических исследований, в ходе которых было доказано, что зрительные анализаторы обладают более высокой пропускной способностью, чем слуховые: 90% процентов всей информации, воспринимаемой человеком, приходится именно на зрение. Глаз способен воспринимать миллионы бит в секунду, ухо – только десятки тысяч. К тому же, данные, воспринятые с помощью глаз, более осмысленны и лучше сохраняются в памяти [3]. В связи с этим мы широко использовали информационные технологии, мультимедийные презентации, содержащие как стандартные задания, так и задания занимательного характера.

Мультимедийные презентации состояли из двух блоков: теоретического и практического. Теоретический блок опирался на повторение изученного материала, а практический – на его закрепление. Поскольку многие учащиеся допустили ошибки в решении уравнений, неравенств и числовых выражений, то задания были подобраны именно на повторение компонентов умножения и деления, а также табличных случаев данных операций.

Во время уроков, на которых использовались презентации, младшие школьники проявляли повышенный интерес к заданиям, выполняли их с большим желанием, чем на обычном уроке. В связи с этим, на каждом уроке было выполнено их больше, чем запланировано. Это еще раз подтвердило, что разумное использование в учебном процессе наглядных средств обучения играет важную роль в развитии наблюдательности, внимания, речи, мышления учащихся. Наглядность материала повышает его усвоение, т.к. задействованы все каналы восприятия информации – зрительный, механический, слуховой и эмоциональный. Кроме того, использование информационных технологий не требует раздаточного материала, сокращает время на выполнение заданий, позволяет менять виды деятельности учеников.

На контрольном этапе исследования повторно был проведен математический тест. Структура теста была аналогична предыдущему, но задания были сложнее. Следует отметить, что на этом этапе в экспериментальном классе обучающиеся справились с работой лучше, чем в контрольном.

Проведенное нами исследование позволяет сделать вывод о том, что использование информационных технологий, в частности мультимедийных презентаций, содержащих задания как стандартного, так и занимательного характера, помогают младшим школьникам быстрее и легче усвоить учебный материал и сформировать необходимые навыки, предусмотренные программой.

Литература